2013학년도 수능 수리영역 가형 후기

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2013학년도 수리가 홀수형 정답 다운로드(링크)

수능날이 되어 오랜만에 수리영역 가형 문제를 풀어보았습니다.
총 30문제(5지선다형 21문제, 단답형 9문제) 중에서 제가 배운 적이 없는 일차변환 문제(9번, 24번)를 제외하고 나머지 28문제를 풀었고, 그 중에서 28문제를 맞아서 총점 94점을 받았습니다.

총평

문제를 풀기 전에 올해 수능 수리영역이 어려웠다는 뉴스를 본 상태였기 때문에 긴장을 했지만, 풀다 보니 그렇게 어려운 수준은 아니었다는 생각이 들었습니다.
이러한 경향은 특히 2점, 3점짜리 문제들에서 두드러졌는데, 그런 문제들이 교과서와 일반 참고서에 대표 유형으로 제시되어 있는 예제 수준으로 출제되었습니다.
4점짜리 문제들 중에서는 다소 어려운 문제들도 있었지만 대부분은 개념을 충분히 이해하고 있으면 쉽게 풀 수 있는 문제들이었습니다.

문제별 해설

구체적으로 각 문제들을 살펴보겠습니다.
2012년 11월 8일에 치러진 2013학년도 수능 수리영역 가형 홀수형 문제를 기준으로 합니다.

1번~11번. 교과서 수준의 기본 예제들입니다.

12번(3점)
정적분으로 주어진 함수 유형입니다.
함수 형태가 간단하지만 e^(x^2)이 포함되어 있어서 치환적분을 해야 풀 수 있다는 점이 중요합니다.

13번(3점)
정규분포의 성질과 확률변수의 성질을 이해해야 풀 수 있습니다.
(가) P(X>64)=P(X<56) 으로부터 m의 값을 구할 수 있습니다.
(나) E(X^2)=3616 에 대해서는 σ의 값을 구할 수 있습니다.

14번(4점)
도형을 활용한 무한급수 유형입니다.
원의 성질, 부채꼴의 넓이 공식을 알아야 풀 수 있기 때문에 까다롭습니다.
두번째 원의 반지름을 구하는 과정이 어렵고, 그 이후로는 전형적인 풀이 순서를 따라서 풀면 됩니다.

15번(4점)
합성함수의 연속성을 판단하는 문제입니다.
f는 두 점에서만 불연속이고, g는 모든 점에서 연속이기 때문에 f가 불연속이 되는 점에서만 연속성을 조사하면 g(-1)=g(0)=g(1)을 얻어서 g의 식을 구할 수 있습니다.

16번(4점)
이차정사각행렬의 성질에 관한 합답형 문제입니다.
역행렬의 정의를 알고 이로부터 AB=BA라는 것을 유도해 내면 답을 구할 수 있습니다.

17번. 교과서 수준의 기본 예제입니다.

18번(4점)
포물선의 성질 문제를 수열 문제와 종합한 문제입니다.
포물선의 성질과 닮음의 성질을 이용하여 P와 Q의 x좌표를 구하면 a(n)의 일반항을 구할 수 있습니다.
P의 x좌표 > F의 x좌표 > Q의 x좌표라는 점에 주의하여 관계식을 세워야 합니다.

19번(4점)
정적분의 응용 문제입니다.
g의 그래프로부터 절댓값을 씌우기 전의 ∫f의 그래프를 그리면 최고차항의 계수가 음수인 것을 알 수 있고, 이를 바탕으로 모든 보기들을 풀 수 있습니다.

20번(4점)
공간좌표 문제입니다.
정사면체의 성질과 평면의 법선벡터를 알면 풀 수 있습니다.

21번(4점)
미분 문제입니다.
함수 f의 그래프 위의 점에서 x축, y축까지의 거리의 최솟값으로 정의된 함수 g가 주어졌습니다.
g의 그래프는 y=|x|와 y=f(x)의 그래프를 그려서 보다 낮은 곳에 있는 곡선을 연결하면 된다는 것을 발견하기만 하면 접선의 성질을 이용해 풀 수 있습니다.

22번~25번. 교과서 수준의 기본 예제입니다.

26번(4점)
내적이란 한 벡터를 다른 벡터(의 연장선)에 정사영한 뒤에 곱한 것이라는 개념을 알고 있다면 풀 수 있습니다.

27번(4점)
좌표평면 위의 점으로 주어진 수열 문제입니다.
차례대로 P4, P5, P6를 구해가다 보면 규칙성을 발견할 수 있습니다.

28번(4점)
직사각형 종이를 접어 올린 것으로 주어진 공간도형 문제입니다.
평면 위에서 DB와 EF가 직교한다는 것으로부터 닮음의 성질을 이용하면 풀 수 있습니다.

29번(4점)
도형으로 주어진 삼각함수의 극한 문제입니다.
사인법칙을 두 개의 삼각형(ABC, ACD)에 각각 이용하여 연립하면 답이 나옵니다.

30번(4점)
역함수 문제와 여러 가지 수열 문제를 종합한 문제입니다.
일단 y=2^x-n과 y=log_2(x+n)이 역함수 관계임에 착안하여 주어진 문제를 y=x와 y=log_2(x+n)의 교점을 찾는 문제로 바꾸어 풉니다.
a(n)의 합을 구할 때에 n의 범위가 1부터 30까지로 주어졌으므로 a(1), a(2), a(30)을 우선 구해봅니다.
이를 통해 a(n)을 둘로 나누어 구해야 함을 알 수 있습니다.
1) 1사분면 위에 있지 않은 점들, 즉 (-n+1, -n+1), (-n+2, -n+2), …, (-1, -1), (0, 0) -> 총 n개
2) 1사분면 위에 있는 점들 -> 아래에서 서술한 방식으로 구합니다.
n=30일 때에는 주어진 조건을 만족시키는 1사분면 위에 있는 점들이 (1, 1), (2, 2), …, (5, 5)이므로 그보다 작은 n에 대해서는 1사분면 위에 있는 점들이 많아야 5개임을 알 수 있습니다.
따라서 1사분면 위에 있는 점들의 개수에 따라서 경우를 나눕니다.
(1, 1)~(5, 5)까지 1사분면에 존재하는 경우: n=30, 29, …, 27
(1, 1)~(4, 4)까지 1사분면에 존재하는 경우: n=26, 25, …, 12

(1, 1)~(1, 1)까지 1사분면에 존재하는 경우: n=1
이를 바탕으로 a(n)의 합을 구할 수 있습니다.

결론

총평에서 언급했던 것처럼 이번 수능 수리영역 가형에서는 문제의 난이도의 양극화가 뚜렷합니다.
2점, 3점짜리 문제들은 교과서 예제 수준으로 상대적으로 쉽게 출제되었고, 4점짜리 문제들은 상대적으로 어렵게 출제되었습니다.
중하위권 학생들의 경우에는 다같이 2점, 3점짜리 문제를 맞추고 다같이 4점짜리 문제를 틀리기 때문에 점수가 비슷비슷하여 수리영역이 다른 영역에 비해서 상대적으로 변별력이 떨어질 것으로 생각됩니다.
상위권 학생들의 경우에는 본인의 실력만큼 4점짜리 문제들을 맞추었을 것으로 보이기 때문에 수리영역의 변별력이 높을 것으로 생각됩니다.

앞으로 수능 수리영역을 공부하는 학생들에게는 다음과 같은 대처가 필요합니다.
낯선 유형이 많이 등장하고 있고, 이러한 문제들에서는 주어진 제한조건 안에서 몇 개의 값을 구해보고 이를 통해 규칙을 찾는 능력이 필요합니다.
무한급수, 이차곡선, 공간도형 등에서는 예전에 배운 도형(삼각형, 원)을 활용한 문제가 꾸준히 출제되고 있고, 닮음, 원의 성질, 부채꼴의 성질, 사인법칙 등 생소한 부분에 대해서도 충분한 공부가 필요합니다.
함수 문제들은 주어진 함수의 정의를 잘 이해해야 풀 수 있는 문제들이고, 이를 대비하기 위해서는 다양한 함수들을 접해보아야 합니다.

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